Cho nửa đường tròn
a) Chứng minh bốn điểm \[A\], \[M\], \[C\], \[O\] cùng thuộc một đường tròn.
Xét đường tròn \[\left( O \right)\],
+ Do \[AM\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\] nên \(MA \bot OA\). Suy ra \(\widehat {MAO} = {90^0}\).
Suy ra \[A\] thuộc đường tròn đường kính \[MO\] (1)
+ Do \[MC\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\]nên \(MC \bot OC\). Suy ra \(\widehat {MCO} = {90^0}\).
Suy ra \[C\] thuộc đường tròn đường kính \[MO\] (2)
Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm \[A\], \[M\], \[C\], \[O\]cùng thuộc một đường tròn (đpcm)
b) Chứng minh \(OI.OM = O{A^2}\) và \[OM\,{\rm{//}}\,BC\].
Xét đường tròn \[\left( O \right)\] có hai tiếp tuyến \[MA\], \[MC\] cắt nhau tại \[M\] suy ra \[MA = MC\]
Mà \[OA = OC = R\]
Suy ra \[OM\] là đường trung trực của \[AC\].
Suy ra \[OM \bot AC\,\,\,(3)\]. Mà \[I \in AC\] nên\[AI \bot OM\].
Xét \[\Delta OIA\] và \[\Delta OAM\] có (g.g)
Suy ra \[\frac{{OI}}{{OA}} = \frac{{OA}}{{OM}}\] hay \[OI.OM = O{A^2}\](đpcm)
Ta có \(\widehat {{\rm{ACB}}} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\[ \Rightarrow AC \bot BC\] (4)
Từ (3) và (4) \[ \Rightarrow \]\[OM\,{\rm{//}}\,BC\](đpcm)
c) Chứng minh \[{\bf{K}}\]là trung điểm của \[{\bf{CH}}\].
Do \[CH\,{\rm{//}}\,AM\] (cùng vuông góc với \[AB\]).
\(\widehat {HCA} = \widehat {CAM}\) (hai góc so le trong) (5)
Mà \[MA = MC\] (cmt) nên \[\Delta MAC\] cân tại \[M\].
\( \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat {{\rm{MCA}}}\)(tính chất tam giác cân) (6)
Từ (5) và (6) suy ra \(\widehat {MCA} = \widehat {HCA}\).
Suy ra \[AC\] là tia phân giác \(\widehat {{\rm{MCH}}}\).
Mà \(AC \bot CB(cmt)\)
Suy ra \[CB\]là phân giác ngoài tại \[C\] của \[\Delta KCM\]\[ \Rightarrow \frac{{BK}}{{BM}} = \frac{{CK}}{{CM}}(7)\]
Xét \[\Delta ABM\] có \[KH\,{\rm{//}}\,AM\] (cùng vuông góc với \[AB\])
Suy ra \[\frac{{BK}}{{BM}} = \frac{{KH}}{{AM}}\,\,\,\,(8)\]
Từ (7) và (8) suy ra \[\frac{{CK}}{{CM}} = \frac{{KH}}{{AM}}\]. Mà \(CM = AM(cmt)\)nên \(CK = KH\).
Vậy \[K\] là trung điểm của \[CH\] (đpcm)