Cho nửa đường đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng d cắt d lần lượt t

14/15

(2,0 điểm) Cho nửa đường đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. Qua điểm $C$ thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến $d$ với nửa đường tròn. Từ điểm $A$ và $B$ kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng $d$ cắt $d$ lần lượt tại $M$ và $N$. Từ $C$ hạ $CH$ vuông góc với $AB$ tại $H$.

a. (1.0 điểm) Chứng minh bốn điểm $A,\,M,\,C,\,H$ cùng thuộc một đường tròn.

b. (0,5 điểm) Khi $A,B$ cố định, chứng minh rằng : $C{H^2} = AH.BH$

c) (0,5 điểm) Xác định vị trí của $C$ trên nửa đường tròn $\left( O \right)$ để $AM.BN$ lớn nhất.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Chứng minh bốn điểm$A,\,M,\,C,\,H$cùng thuộc một đường tròn

a)Vì $AM \bot MC;CH \bot AB$nên:$\widehat {AMC} = 90^\circ ;\widehat {AHC} = 90^\circ $. Gọi $I$ là trung điểm của $AC$, ta có $IA = IC = \frac{1}{2}AC$$\left( 1 \right)$	0,25
Trong tam giác $MAC$ vuông tại $M$ có $MI$ là đường trung tuyến nên $MI = \frac{1}{2}AC$$\left( 2 \right)$	0,25
Trong tam giác $AHC$ vuông tại $M$ có $HI$ là đường trung tuyến nên $HI = \frac{1}{2}AC$$\left( 3 \right)$	0,25
Từ $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$, $\left( 3 \right)$, ta có: $IA = IC = IH = IM = \frac{1}{2}AC$.	0,25
Suy ra $A,\,M,\,C,\,H\,\, \in \left( {I;\frac{{AC}}{2}} \right)$ Vậy bốn điểm$A,\,M,\,C,\,H$cùng thuộc một đường tròn	0,25
b) Khi $A,B$ cố định, chứng minh rằng : $C{H^2} = AH.BH$
Xét $\Delta ACB$ có CO là đường trung tuyến ứng với cạnh AB và $CO = \frac{1}{2}AB$ suy ra $\Delta ACB$ vuông tại C Xét $\Delta AHC$ và $\Delta CHB$ có $\widehat {AHC} = \widehat {CHB} = 90^\circ $ (vì $AH \bot AB$) Xét tam giác vuông $AHC$có : $\widehat {ACH} + \widehat {CAH} = 90^\circ $ $\widehat {ACH} + \widehat {HCB} = 90^\circ $ Suy ra: $\widehat {CAH} = \widehat {HCB}$ (cùng phụ \[\widehat {ACH}\]) Suy ra: $Δ A H C ∽ Δ C H B (g . g)$ Do đó: $\,\,\frac{{AH}}{{HC}} = \frac{{HC}}{{HB}}$, suy ra: $C{H^2} = AH.HB$	0,25 0,25
c) Xác định vị trí của $C$ trên nửa đường tròn $\left( O \right)$để $AM.BN$ lớn nhất. Vì \[AM \bot d\,;\,\,OC \bot d\] suy ra $AM\,{\rm{//}}\,OC$. Suy ra $\widehat {MAC} = \widehat {ACO}$ Ta có OA=OC suy ra $\Delta OAC$ cân tại O Suy ra $\widehat {CAO} = \widehat {ACO}$ mà $\widehat {MAC} = \widehat {ACO}$ suy ra $\widehat {CAO} = \widehat {MAC}$ Xét $\Delta AMC$ và có $\widehat {AMC} = \widehat {AHC} = 90^\circ $; AC là cạnh chung; $\widehat {CAO} = \widehat {MAC}$ Suy ra $\Delta AMC = \Delta AHC$ (cạnh huyền – góc nhọn) Suy ra AM=AH Tương tự ta cũng chứng minh được $\Delta HCB = \Delta CNB$ (cạnh huyền – góc nhọn) Suy ra HB=NB	0,25
Suy ra $AM.BN = AH.HB = C{H^2}$ Ta có $CH \le CO = R$ $\begin{array}{l}Suy\,ra\,\,AM.BN \le {R^2} \Rightarrow Min(AM.BN) = {R^2}\,\\Khi\,\,CH = CO \Rightarrow \Delta ACB\,vu\^o ng\,\,c\^a n\,\,tai\,C\end{array}$ Khi đó C là điểm chính giữa cung AB	0,25

a) Chứng minh bốn điểm\(A,\,M,\,C,\,H\)cùng thuộc một đường tròn

a)Vì \(AM \bot MC;CH \bot AB\)nên:\(\widehat {AMC} = 90^\circ ;\widehat {AHC} = 90^\circ \). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC\), ta có \(IA = IC = \frac{1}{2}AC\)\(\left( 1 \right)\)	0,25
Trong tam giác \(MAC\) vuông tại \(M\) có \(MI\) là đường trung tuyến nên \(MI = \frac{1}{2}AC\)\(\left( 2 \right)\)	0,25
Trong tam giác \(AHC\) vuông tại \(M\) có \(HI\) là đường trung tuyến nên \(HI = \frac{1}{2}AC\)\(\left( 3 \right)\)	0,25
Từ \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\), \(\left( 3 \right)\), ta có: \(IA = IC = IH = IM = \frac{1}{2}AC\).	0,25
Suy ra \(A,\,M,\,C,\,H\,\, \in \left( {I;\frac{{AC}}{2}} \right)\) Vậy bốn điểm\(A,\,M,\,C,\,H\)cùng thuộc một đường tròn	0,25
b) Khi \(A,B\) cố định, chứng minh rằng : \(C{H^2} = AH.BH\)
Xét \(\Delta ACB\) có CO là đường trung tuyến ứng với cạnh AB và \(CO = \frac{1}{2}AB\) suy ra \(\Delta ACB\) vuông tại C Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta CHB\) có \(\widehat {AHC} = \widehat {CHB} = 90^\circ \) (vì \(AH \bot AB\)) Xét tam giác vuông \(AHC\)có : \(\widehat {ACH} + \widehat {CAH} = 90^\circ \) \(\widehat {ACH} + \widehat {HCB} = 90^\circ \) Suy ra: \(\widehat {CAH} = \widehat {HCB}\) (cùng phụ \[\widehat {ACH}\]) Suy ra: $Δ A H C ∽ Δ C H B (g . g)$ Do đó: \(\,\,\frac{{AH}}{{HC}} = \frac{{HC}}{{HB}}\), suy ra: \(C{H^2} = AH.HB\)	0,25 0,25
c) Xác định vị trí của \(C\) trên nửa đường tròn \(\left( O \right)\)để \(AM.BN\) lớn nhất. Vì \[AM \bot d\,;\,\,OC \bot d\] suy ra \(AM\,{\rm{//}}\,OC\). Suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {ACO}\) Ta có OA=OC suy ra \(\Delta OAC\) cân tại O Suy ra \(\widehat {CAO} = \widehat {ACO}\) mà \(\widehat {MAC} = \widehat {ACO}\) suy ra \(\widehat {CAO} = \widehat {MAC}\) Xét \(\Delta AMC\) và có \(\widehat {AMC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \); AC là cạnh chung; \(\widehat {CAO} = \widehat {MAC}\) Suy ra \(\Delta AMC = \Delta AHC\) (cạnh huyền – góc nhọn) Suy ra AM=AH Tương tự ta cũng chứng minh được \(\Delta HCB = \Delta CNB\) (cạnh huyền – góc nhọn) Suy ra HB=NB	0,25
Suy ra \(AM.BN = AH.HB = C{H^2}\) Ta có \(CH \le CO = R\) \(\begin{array}{l}Suy\,ra\,\,AM.BN \le {R^2} \Rightarrow Min(AM.BN) = {R^2}\,\\Khi\,\,CH = CO \Rightarrow \Delta ACB\,vu\^o ng\,\,c\^a n\,\,tai\,C\end{array}\) Khi đó C là điểm chính giữa cung AB	0,25