Cho ngũ giác đều ABCDE. Gọi M, N, P, Q,, R tương ứng là trung điểm của

Xét △ ABC và △ BCD:

AB = BC (gt)

∠B = ∠C (gt)

BC = CD (gt)

Do đó: △ ABC = △ BCD (c.g.c)

⇒ AC = BD (1)

Xét △ BCD và △ CDE:

BC = CD (gt)

∠C = ∠D (gt)

CD = DE (gt)

Do đó: △ BCD = △ CDE (c.g.c) ⇒ BD = CE (2)

Xét △ CDE và △ DEA:

CD = DE (gt)

∠D = ∠E (gt)

DE = EA (gt)

Do đó: △ CDE = △ DEA (c.g.c) ⇒ CE = DA (3)

Xét △ DEA và △ EAB:

DE = EA (gt)

∠E = ∠A (gt)

EA = AB (gt)

Do đó: △ DEA = △ EAB (c.g.c) ⇒ DA = EB (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: AC = BD = CE = DA = EB

Trong △ ABC ta có RM là đường trung bình

⇒ RM = 1/2 AC (tính chất đường trung bình của tam giác)

Mặt khác, ta có: Trong Δ BCD ta có MN là đường trung bình

⇒ MN = 1/2 BD (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong △ CDE ta có NP là đường trung bình

⇒ NP = 1/2 CE (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong △ DEA ta có PQ là đường trung bình

⇒ PQ = 1/2 DA (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong △ EAB ta có QR là đường trung bình

⇒ QR = 1/2 EB (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra: MN = NP = PQ = QR = RM

Ta có: ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E = ((5-2 ).1800)/5 = 1080

△ DPN cân tại D

⇒ ∠(DPN) = ∠(DNP) = (1800- ∠D )/2 = (1800 - 1080)/2 = 360

△ CNM cân tại C

⇒ ∠(CNM) = ∠(CMN) = (1800- ∠D )/2 = (1800 - 1080)/2 = 360

∠(ADN) + ∠(PNM) + ∠(CNM) = 1800

⇒ ∠(PNM) = 1800 - (∠(ADN) + ∠(CNM) )

            =1800 - (360 – 360) = 1080

△ BMR cân tại B

⇒ ∠(BMR) = ∠(BRM) = (1800- ∠B )/2 = (1800 - 1080)/2 = 360

∠(CMN) + ∠(BRM) + ∠(BMR) = 1800

⇒ ∠(NMR) = 1800 - (∠(CMN) + ∠(BMR) )

            = 1800 - (360 – 360) = 1080

△ ARQ cân tại A

⇒ ∠(ARQ) = ∠(AQR) = (1800- ∠A )/2 = (1800 - 1080)/2 = 360

∠(BRM) + ∠(MRQ) + ∠(ARQ) = 1800

⇒ ∠(MRQ) = 1800 - (∠(BRM) + ∠(ARQ) )

            =1800 - (360 – 360) = 1080

△ QEP cân tại E

⇒ ∠(EQP) = ∠(EPQ) = (1800- ∠E )/2 = (1800 - 1080)/2 = 360

∠(AQR) + ∠(RQP) + ∠(EQP) = 1800

⇒ ∠(RQP) = 1800 - (∠(AQR) + ∠(EQP) )

            = 1800 - (360 – 360) = 1080

∠(EQP) + ∠(QPN) + ∠(DPN) = 1800

⇒ ∠(QPN) = 1800 - (∠(EPQ) + ∠(DPN) )

            = 1800 - (360 – 360) = 1080

Suy ra : ∠(PNM) = ∠(NMR) = ∠(MRQ) = ∠(RQP) = ∠(QPN)

Vậy MNPQR là ngũ giác đều.