Cho \(n\) là số tự nhiên thỏa mãn \({n^2} - 6n - 7 = 0\).

Ta có \({n^2} - 6n - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{n = 7}\\{n =  - 1}\end{array}} \right.\). Do \(n \in N\) nên \(n = 7\).

Khi đó: \(S = C_7^0 + C_7^1 +  \ldots  + C_7^7\).

Xét khai triển \({(a + b)^7} = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {a^{7 - k}}{b^k}\). Ta chọn \(a = b = 1\), thu được: \({(1 + 1)^7} = C_7^0 + C_7^1 +  \ldots  + C_7^7\)

Vậy \(S = {2^7} = 128\).