Cho n là số tự nhiên thỏa mãn: C0 n+2C1 n+4C2 n+..+
69/100
Cho \(n\) là số tự nhiên thỏa mãn: \(C_n^0 + 2C_n^1 + 4C_n^2 + \ldots + {2^n}C_n^n = 243\).
Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:
Giá trị của \(n\) bằng _______.
Khi đó hệ số của số hạng chứa \(x\) của khai triển \({(3x - 1)^n}\) là _______.
Giá trị của biểu thức \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \ldots + C_n^n\) bằng _______.
Giá trị của \(n\) bằng 5 .
Khi đó hệ số của số hạng chứa \(x\) của khai triển \({(3x - 1)^n}\) là 15 .
Giá trị của biểu thức \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \ldots + C_n^n\) bằng 32 .
Giải thích
Xét khai triển: \({(1 + x)^n} = C_n^0 + xC_n^1 + {x^2}C_n^2 + \ldots + {x^n}C_n^n\).
Thay \(x = 2\) ta có: \(C_n^0 + 2C_n^1 + 4C_n^2 + \ldots + {2^n}C_n^n = {(1 + 2)^n} = {3^n}\).
Theo đề bài: \({3^n} = 243 \Leftrightarrow n = 5\).
Với \(n = 5\) thì:
+ \({(3x - 1)^n} = {(3x - 1)^5} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k{{(3x)}^{5 - k}}} .{( - 1)^k} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k{3^{5 - k}}.{{( - 1)}^k}.{x^{5 - k}}} \)
Ta có: \(5 - k = 1 \Leftrightarrow k = 4\).
Hệ số của số hạng chứa \(x\) của khai triển là \(C_5^4{.3^{5 - 4}}.{( - 1)^4} = 15\).
+ \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \ldots + C_n^n = {(1 + 1)^n} = {2^n} = {2^5} = 32\).