Cho \(n\) là số nguyên dương thoả mãn \[C_n^1 + C_n^3 = 3n\]. Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^5}\) trong khai triển của

Ta có: \[C_n^1 + C_n^3 = 3n \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{1!\left( {n - 1} \right)!}} + \frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} = 3n \Leftrightarrow n + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} = 3n\]

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} = 2 \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\,\left( {TM} \right)\\n =  - 2\,\left( L \right)\end{array} \right.\).

Với \(n = 5\) ta có \(P\left( x \right) = {\left( {{x^3} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^5} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k{{\left( {{x^3}} \right)}^{5 - k}}{x^{ - 2k}}}  = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k{x^{15 - 5k}}} \).

Hệ số của số hạng chứa \({x^5}\) ứng với \(15 - 5k = 5 \Leftrightarrow k = 2\).

Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^5}\) là \(C_5^2 = 10\).