Cho \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn                    C_n^1 + C_n^2 + .....C_n^( n - 1} + C_n^n = 4095

Phương pháp giải:

Vận dụng khai triển Newton.

Giải chi tiết:

Xét khai triển Newton:

   \[{(1 + x)^n} = C_n^0{x^n} + C_n^1{x^{n - 1}} + \cdots + C_n^n{x^0}{\rm{ }}1\]

            \[{(x + 1)^n} = C_n^0{x^0} + C_n^1{x^1} + \cdots + C_n^n{x^n}{\rm{ }}2\]

Cho \(x = 1\), khi đó từ (1) ta được:

                                        \[{2^n} = C_n^0 + C_n^1 + \cdots + C_n^n.\]

Suy ra:

       \[C_n^1 + C_n^2 + \cdots + C_n^{n - 1} + C_n^n = {2^n} - 1 = 4095 \Rightarrow {2^n} = 4096 \Rightarrow n = 12.\]

Nhân hai vế của (1) và (2) ta được:

${(1+x)}^{2n}=(C_n^0{x}^n+C_n^1{x}^{n-1}+\cdots +C_n^n)(C_n^0+C_n^{1}x+\cdots +C_n^n{x}^n).$

So sánh hệ số của \({x^n}\) hai vế, ta có:

                     \[C_{2n}^n = {(C_n^0)^2} + {(C_n^1)^2} + \cdots + {(C_n^n)^2}.\]

Do đó:

                                                             \[S = C_{2n}^n - 1.\]

Với \(n = 12\), suy ra:

                         \[S = C_{24}^{12} - 1 = 2{\mkern 1mu} 704{\mkern 1mu} 155.\]