Cho \(n\) là các số tự nhiên. Tính: T = C_n^0 + 1/2 C1 n + 1/3 2Cn

Vì \(C_n^0 = 1 = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^1\) và áp dụng công thức \(\frac{1}{{k + 2}}C_{n + 1}^{k + 1} = \frac{1}{{n + 2}}C_{n + 2}^{k + 2}\) ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}T&{ = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^1 + \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^2 + \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^3 +  \ldots  + \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{n + 1}}\\{}&{ = \frac{1}{{n + 1}}\left( {C_{n + 1}^1 + C_{n + 1}^2 + C_{n + 1}^3 +  \ldots  + C_{n + 1}^{n + 1}} \right) = \frac{1}{{n + 1}}\left( {{2^{n + 1}} - 1} \right).}\end{array}\)