Cho n đường tròn đồng tâm O . Biết rằng đường tròn trong cùng có bán kính r 1 = 2 , chu vi đường tròn ( O ; r 2 ) gấp 2 lần chu vi đường tròn ( O ; r 1 ) ; … ; chu vi đường tròn ( O

Đáp án

Cho \(n\) đường tròn đồng tâm \(O\). Biết rằng đường tròn trong cùng có bán kính \({r_1} = 2\), chu vi đường tròn \(\left( {O;{r_2}} \right)\) gấp 2 lần chu vi đường tròn \(\left( {O;{r_1}} \right); \ldots ;\) chu vi đường tròn \(\left( {O;{r_n}} \right)\) gấp 2 lần chu vi đường tròn \(\left( {O;{r_{n - 1}}} \right)\). Nếu chu vi đường tròn \(\left( {O;{r_n}} \right)\) gấp 128 lần chu vi đường tròn \(\left( {O;{r_1}} \right)\) thì bán kính đường tròn gần lớn nhất \({r_{n - 1}}\) bằng (1) __ 128 __ .

Giải thích

Nhận xét: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\pi {r_2} = 2.2\pi {r_1}}\\ \ldots \\{2\pi {r_n} = 2.2\pi {r_{n - 1}}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{r_2} = 2{r_1}}\\ \ldots \\{{r_n} = 2{r_{n - 1}}}\end{array}} \right.} \right.\).

Các bán kính \({r_1},{r_2}, \ldots ,{r_{n - 1}},{r_n}\) lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu là \({r_1} = 2\) và công bội \(q = 2\).

Lại có: \(2\pi {r_n} = 128.2\pi {r_1} \Leftrightarrow {r_n} = 128{r_1} \Leftrightarrow {r_n} = {2^7}.{r_1} \Rightarrow {q^{n - 1}} = {2^7} \Rightarrow n = 8\).

Vậy bán kính đường tròn gần lớn nhất là \({r_{n - 1}} = {r_7} = {2^6}.{r_1} = {2^6}.2 = 128\).