Cho một vật thể bằng gỗ có dạng hình trụ với chiều cao và bán kính đáy cùng bằng R
19/30
Cho một vật thể bằng gỗ có dạng hình trụ với chiều cao và bán kính đáy cùng bằng\[R\]. Cắt khối gỗ đó bởi một mặt phẳng đi qua đường kính của một mặt đáy của khối gỗ và tạo với mặt phẳng đáy của khối gỗ một góc \[{30^0}\] ta thu được hai khối gỗ có thể tích là \[{V_1}\] và \[{V_2}\], với \[{V_1} < {V_2}\]. Thể tích \[{V_1}\] bằng?
\[{V_1} = \frac{{2\sqrt 3 {R^3}}}{9}\].
\[{V_1} = \frac{{\sqrt 3 \pi {R^3}}}{{27}}\].
\[{V_1} = \frac{{\sqrt 3 \pi {R^3}}}{{18}}\].
\[{V_1} = \frac{{\sqrt 3 {R^3}}}{{27}}\].
Chọn A
Khi cắt khối gỗ hình trụ ta được một hình nêm có thể tích \[{V_1}\] như hình vẽ.
Chọn hệ trục tọa độ \[Oxy\] như hình vẽ.
Nửa đường tròn đường kính \[AB\] có phương trình là \[y = \sqrt {{R^2} - {x^2}} \],\[x \in \left[ { - R;R} \right]\].
Một mặt phẳng vuông góc với trục \[Ox\] tại điểm \[M\] có hoành độ \[x\], cắt hình nêm theo thiết diện là \[\Delta MNP\] vuông tại \[N\] và có \[\widehat {PMN} = {30^0}\].
Ta có \[NM = y = \sqrt {{R^2} - {x^2}} \Rightarrow NP = MN.\tan {30^0} = \frac{{\sqrt {{R^2} - {x^2}} }}{{\sqrt 3 }}\].
\[\Delta MNP\] có diện tích \[S\left( x \right) = \frac{1}{2}NM.NP = \frac{1}{2}.\frac{{{R^2} - {x^2}}}{{\sqrt 3 }}\].
Thể tích hình nêm là \[{V_1} = \int\limits_{ - R}^R {S\left( x \right)} {\rm{d}}x = \frac{1}{2}\int\limits_{ - R}^R {\frac{{{R^2} - {x^2}}}{{\sqrt 3 }}} {\rm{d}}x\]\[ = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\left. {\left( {{R^2}x - \frac{1}{3}{x^3}} \right)} \right|_{ - R}^R = \frac{{2\sqrt 3 {R^3}}}{9}\].
* Chú ý: Có thể ghi nhớ công thức tính thể tích hình nêm:
\[{V_1} = \frac{2}{3}{R^2}h = \frac{2}{3}{R^3}\tan \alpha \], trong đó \[R = \frac{{AB}}{2}\], \[\alpha = \widehat {PMN}\].