Cho một tờ giấy hình chữ nhật ABCD có AB = 18 cm, AD = 12 cm. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Từ P tạo hai nếp gấp PR (R ∈ AD) và PS (S ∈ BC) sao cho nếu gập phẳng thì hai đoạn

Chọn hệ trục tọa độ\(Oxyz\)như hình vẽ:
Tọa độ các điểm: \(P\left( {0;0;0} \right)\), \(A\left( { - 9;0;0} \right)\), \(B\left( {9;0;0} \right)\), \(Q\left( {0;12;0} \right)\)
Theo đề bài, khi gấp phẳng thì \(PA\)trùng với\(PQ\).
Điều này có nghĩa là khi gấp, điểm \(A\) sẽ di chuyển đến điểm \(A'\left( {0;9;0} \right)\) trên trục \(Oy\)(vì \(PA = 9\) cm)
Đường nếp gấp \(PR\) chính là đường trung trực của đoạn \(AA'\) trong mặt phẳng ban đầu.
Trung điểm của \(AA'\)là \(M\left( { - \frac{9}{2};\frac{9}{2};0} \right)\)
Vectơ \(\overrightarrow {AA'} = \left( {9;9;0} \right)\) nên nếp gấp \(PR\) có phương trình là \(y = - x\) trong mặt phẳng\(Oxy\).
Khi ta gấp tam giác \(APR\) lên một góc \(\theta \) so với mặt phẳng cố định\(\left( {PRQS} \right)\) thì điểm \(A\) sẽ quay quanh trục\(PR\). Tọa độ của \(A\)trong không gian sẽ phụ thuộc vào\(\theta \):
\[A\left( { - \frac{9}{2}\left( {1 - \cos \theta } \right);\frac{9}{2}\left( {1 + \cos \theta } \right);\frac{{9\sqrt 2 }}{2}\sin \theta } \right)\]
Do tính đối xứng qua \(Oy \Rightarrow B\left( {\frac{9}{2}\left( {1 - \cos \theta } \right);\frac{9}{2}\left( {1 + \cos \theta } \right);\frac{{9\sqrt 2 }}{2}\sin \theta } \right)\)
Thể tích khối tứ diện \(Q.PAB\)là: \(V = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {PA} ,\overrightarrow {PB} } \right].\overrightarrow {PQ} } \right| = \frac{1}{6}\left| { - 24{x_A}{z_A}} \right| = 4\left| {{x_A}{z_A}} \right|\left( * \right)\)
Thay số vào \(\left( * \right) \Leftrightarrow V\left( \theta \right) = 4\left| { - \frac{9}{2}\left( {1 + \cos \theta } \right).\frac{{9\sqrt 2 }}{2}\sin \theta } \right| = 81\sqrt 2 \sin \theta \left( {1 + \cos \theta } \right)\)