Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 1m như hình vẽ dưới đây.
43/235
Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh \(1m\) như hình vẽ dưới đây.Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng \(x\left( m \right)\), sao cho bốn đỉnh của hình vuông gập lại thành đỉnh của hình chóp. Tìm \(x\) để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất?
\(x = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
\(x = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\).
\(x = \frac{{2\sqrt 2 }}{5}\).
\(x = \frac{1}{2}\).
Đáp án đúng là C
Phương pháp giải
Đặt cạnh bên là \(y\) và cạnh đáy của chóp đều là \(x\)
Lời giải
Độ dài đường cao của mặt bên là: \(a = \sqrt {{y^2} - {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} \)
Khi đó theo hình ta được: \(2a + x = \sqrt 2 \Leftrightarrow 2\sqrt {{y^2} - \frac{{{x^2}}}{4}} + x = \sqrt 2 \)
\( \Rightarrow 4\left( {{y^2} - \frac{{{x^4}}}{4}} \right) = {(\sqrt 2 - x)^2} = {x^2} - 2x\sqrt 2 + 2 \Rightarrow 4{y^2} = 2{x^2} - 2x\sqrt 2 + 2\)
Lại có: \(V = \frac{1}{3}h.S = \frac{1}{3}\sqrt {{y^2} - {{\left( {\frac{{x\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} {x^2} = \frac{{{x^2}}}{3}\sqrt {\frac{{1 - x\sqrt 2 }}{2}} = \frac{{{x^2}}}{{3\sqrt 2 }}\sqrt {1 - x\sqrt 2 } \)
Khảo sát hàm vừa nhận được ta được thể tích lớn nhất bằng\(0,033\) khi \(x = \frac{{2\sqrt 2 }}{5}\)
Hoặc học sinh có thể sử dụng chức năng Table để tìm min-max