Cho một tấm bìa hình vuông cạnh 10 c m . Để làm một mô hình kim tự tháp Ai Cập, người ta cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy chính là cạnh của hình vuông rồi gấp lên, ghép lại thàn
42/100
Cho một tấm bìa hình vuông cạnh 10 \(cm\). Để làm một mô hình kim tự tháp Ai Cập, người ta cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy chính là cạnh của hình vuông rồi gấp lên, ghép lại thành một hình chóp tứ giác đều.
Khi đó, thể tích lớn nhất của khối kim tự tháp Ai Cập được tạo thành là
\(\frac{{32}}{3}{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^3}\)
\(32\sqrt {10} {\rm{\;c}}{{\rm{m}}^3}\)
\(\frac{{32\sqrt 5 }}{3}{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^3}\)
\(\frac{{32\sqrt {10} }}{3}{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^3}\)
Gọi chiều dài cạnh đáy là \(x(0 < x < 10\sqrt 2 )\), ta có:
\(MI = \frac{{10 - x\sqrt 2 }}{2},M{A^2} = 25 + \frac{{{{(10 - x\sqrt 2 )}^2}}}{4} = \frac{{100 - 10\sqrt 2 x + {x^2}}}{2}\)Đường cao hình chóp là \(h = \sqrt {\frac{{100 - 10x\sqrt 2 + {x^2}}}{2} - \frac{{{x^2}}}{2}} = \sqrt {50 - 5\sqrt 2 x} \)
Thể tích hình chóp là \(V = \frac{1}{3}{x^2}\sqrt {50 - 5\sqrt 2 x} \Rightarrow {V^2} = \frac{1}{9}\left( {50{x^4} - 5\sqrt 2 {x^5}} \right)\)
Xét hàm số: \(y = \frac{1}{9}\left( {50{x^4} - 5\sqrt 2 {x^5}} \right)\) trên khoảng \(\left( {0;10\sqrt 2 } \right)\).
\(y' = \frac{1}{9}\left( {200{x^3} - 25\sqrt 2 {x^4}} \right);y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 4\sqrt 2 }\end{array}\)Lập bảng biến thiên suy ra:
\(\mathop {{\rm{Max}}}\limits_{\left( {0;10\sqrt 2 } \right)} y = \frac{{10240}}{9} \Leftrightarrow x = 4\sqrt 2 \Rightarrow {V_{{\rm{max\;}}}} = \frac{{32\sqrt {10} }}{3} \Leftrightarrow x = 4\sqrt 2 \)
Đáp án cần chọn là: D