Cho một phân số có mẫu số lớn hơn từ số là 2. Nếu bớt tử số đi 3 đơn vị và bớt mẫu số đi 6 đơn vị thì ta được một phấn số mới bằng phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tính tổng tử số và mẫ

Hướng dẫn giải

Đáp án: 18

Gọi tử số của phân số cần tìm là x (x ∈ ℤ, x ≠ 0, x ≠ −2, x ≠ 4).

Mẫu số của phân số đó là: x + 2.

Phân số đã cho là \(\frac{x}{{x + 2}}\).

Nếu bớt tử số đi 3 đơn vị và bớt mẫu số đi 6 đơn vị thì ta được phân số mới là

\(\frac{{x - 3}}{{x + 2 - 6}} = \frac{{x - 3}}{{x - 4}}\).

Vì phân số mới bằng phân số nghịch đảo của phân số đã cho nên ta có phương trình \(\frac{{x - 3}}{{x - 4}} = \frac{{x + 2}}{x}\)

Giải phương trình, ta có: \[\frac{{\left( {x - 3} \right)x}}{{\left( {x - 4} \right)x}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)x}}\]   

                                           (x – 3)x = (x + 2)(x − 4)

                                            x² – 3x = x² − 2x − 8

                                            x² – 3x – x² + 2x + 8 = 0

                                                          x = 8 (thỏa mãn)

Mẫu số là 8 + 2 = 10

Vậy phân số cần tìm là \(\frac{8}{{10}}\).

Tổng của tử và hiệu của phân số cần tìm là: 8 + 10 = 18.