Cho một nửa dường tronf đường kính AB. Trên cung AB lấy điểm C ( AC<BC, C ≠ A). Trên cung BC lấy điểm D ( D ≠ B, D ≠ C )

a)     Chứng minh tứ giác ACKH nội tiếp

Xét \(\) \(\Delta \)CHA  vuông tại H

Nên A, H, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC

Xét \(\) \(\Delta \)CKA  vuông tại K

Nên A, K, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC

Suy ra A, C, K, H thuộc đường tròn đường kính AC

Hay tứ giác ACKH nội tiếp đường tròn dường kính AC

Chứng minh hai góc HCK và BDC bằng nhau, IE// CD

Vì tứ giác ACKH nội tiếp đường tròn nên \(\widehat {HAK} = \widehat {HCK}\) ( góc nội tiếp chắn cung HK)

Xét (O) có  \(\widehat {DCB} = \widehat {DAB}\) ( góc nội tiếp chắn cung BD)

Nên \(\widehat {BCD} = \widehat {HCK}\)

Gọi M là giao điểm của CE và AB

Xét tam giác ACM  có AH và AK là 2 đường cao cắt nhau tại I nên I la trực tâm tam giác ACM nên EI là đường cao thứ ba.

MI vuông góc với AC.

Lại có \(\widehat {ACB} = {90^0}\) ( góc nội tiếp chắn nưả đường tròn (O))

CB vuông góc  với AC

MI // CB

Xét tam giác CHB có MI//CB nên \(\frac{{HI}}{{HC}} = \frac{{HM}}{{HB}}\)  ( đl Talet)

Ta có  CM\( \bot \) AD, DB\( \bot \) AD nên CM//BD

Nên EM//BD

Xét tam giác DHB có EM//DB nên \(\frac{{HM}}{{HB}} = \frac{{HE}}{{HD}}\) ( đl Talet)

Suy ra \(\frac{{HI}}{{HC}} = \frac{{HE}}{{HD}}\) 

Xét tam giác CHD có \(\frac{{HI}}{{HC}} = \frac{{HE}}{{HD}}\) 

Nên IE//CD