Cho một mô hình [3D] mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài

20/30

Cho một mô hình \[3 - D\] mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài \[5\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\]; khi cắt hình này bởi mặt phẳng vuông góc với đấy của nó, ta được thiết diện là một hình parabol có độ dài đáy gấp đôi chiều cao parabol. Chiều cao của mỗi thiết diện parobol cho bởi công thức\(y = 3 - \frac{2}{5}x\) \[\left( {{\rm{cm}}} \right)\], với \(x\)\[\left( {{\rm{cm}}} \right)\] là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Tính thể tích (theo đơn vị\(c{m^3}\)) không gian bên trong đường hầm mô hình ( làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Cho một mô hình [3D] mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài (ảnh 1)

\(29\).

\(27\).

\(31\).

\(33\).

Giải thích

Chọn A

Cho một mô hình [3D] mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài (ảnh 2)

Xét một thiết diện parabol có chiều cao là \[h\] và độ dài đáy \[2h\] và chọn hệ trục \[Oxy\] như hình vẽ trên.

Parabol \[\left( P \right)\] có phương trình \[\left( P \right):\,\,y = a{x^2} + h,\,\,\left( {a < 0} \right)\]

Có \[B\left( {h;\,0} \right) \in \left( P \right)\] \[ \Leftrightarrow 0 = a{h^2} + h\] \[ \Leftrightarrow a = - \frac{1}{h}\,\,\left( {do\,h > 0} \right)\]

Diện tích \[S\] của thiết diện: \[S = \int\limits_{ - h}^h {\left( { - \frac{1}{h}{x^2} + h} \right)\,{\rm{dx}}} = \frac{{4{h^2}}}{3}\], \(h = 3 - \frac{2}{5}x\)

\[ \Rightarrow S\left( x \right) = \frac{4}{3}{\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right)^2}\]

Suy ra thể tích không gian bên trong của đường hầm mô hình:

\( \Rightarrow V = \int\limits_0^5 {S\left( x \right){\rm{dx}}} = \int\limits_0^5 {\frac{4}{3}{{\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right)}^2}{\rm{dx}}} \approx 28,888\)

\[ \Rightarrow V \approx 29\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\]