Cho một miếng bìa hình vuông có độ dài cạnh 1m. Người ta cắt bỏ 4 góc miếng bìa đó bởi bốn hình vuông có kích thước bằng nhau, sau đó gấp lại thành một hình hộp không có nắp.

Gọi độ dài của cạnh hình vuông nhỏ đã được cắt bỏ đi là \[x\] (\[m,0 < x < \frac{1}{2}\])

Khi đó chiều dài mặt đáy của hình hộp chữ nhật là \[1 - 2x\] (\[m\])

 chiều rộng mặt đáy của hình hộp chữ nhật là \[1 - 2x\] (\[m\])

 chiều cao của hộp là \[x\] (m)

Thể tích của chiếc hộp là \[x{\left( {1 - 2x} \right)^2} = \frac{1}{4}\left( {1 - 2x} \right).\left( {1 - 2x} \right).4x\] (\[{m^3}\])

Chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm và áp dụng cho bộ \[1 - 2x;1 - 2x\] và \[4x\].

\[\frac{1}{4}\left( {1 - 2x} \right).\left( {1 - 2x} \right).4x \le \frac{1}{4}{\left( {\frac{{1 - 2x + 1 - 2x + 4x}}{3}} \right)^3} \le \frac{2}{{27}}\]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \[1 - 2x = 1 - 2x = 4x\]. Từ đó tìm được \[x = \frac{1}{6}\] (tmđk).