Cho một hình tam giác đều cạnh a = 40 cm (Hình a). Chia mỗi cạnh của tam giác đó thành 3 đoạn thẳng có độ dài bằng nhau và vẽ ra phía ngoài một tam giác đều nhận đoạn ở giữa làm cạnh đồng thờ
18/22
Cho một hình tam giác đều cạnh \[a = 40\,cm\] (Hình a). Chia mỗi cạnh của tam giác đó thành 3 đoạn thẳng có độ dài bằng nhau và vẽ ra phía ngoài một tam giác đều nhận đoạn ở giữa làm cạnh đồng thời bỏ đi đoạn ở giữa đó, ta được Hình b). Tiếp tục chia mỗi cạnh ở Hình b) thành 3 đoạn thẳng có độ dài bằng nhau và vẽ ra phía ngoài một tam giác đều nhận đoạn ở giữa làm cạnh đồng thời bỏ đi đoạn ở giữa đó, ta được Hình c). Lặp lại quá trình trên; từ Hình c) ta tạo nên Hình d); từ Hình d) ta tạo nên Hình e); … và cứ thế ta sẽ tạo được một dãy các hình, được gọi là dãy hình Bông tuyết Koch.
Gọi \[{S_n}\] là diện tích của hình ở bước thứ \[n\] (\[{S_0}\] là diện tích tam giác đều ban đầu). Tính giới hạn của diện tích hình thu được khi quá trình trên lặp lại vô hạn lần, tức là tính \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n}\] (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Đáp số: 1109
Diện tích hình tam giác đều ban đầu: \[{S_0} = \frac{{{{40}^2}\sqrt 3 }}{4} = 400\sqrt 3 \,c{m^2}\].
Diện tích tăng thêm ở bước một so với hình tam giác ban đầu là:
\[{u_1} = 3.\frac{{{{\left( {\frac{{40}}{3}} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{400\sqrt 3 \,}}{3} = \frac{1}{3}{S_0}\].
Diện tích tăng thêm ở bước hai so với hình ở bước một là: \[{u_2} = 12.\frac{{{{\left( {\frac{{40}}{9}} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{1600\sqrt 3 }}{{27}} = \frac{4}{9}{u_1}\].
Diện tích tăng thêm ở bước ba so với hình ở bước hai là: \[{u_3} = 48.\frac{{{{\left( {\frac{{40}}{{27}}} \right)}^2}.\sqrt 3 }}{4} = \frac{{6400\sqrt 3 }}{{243}} = \frac{4}{9}{u_2}\].
….
Do đó, diện tích tăng thêm ở mỗi hình so với hình ở bước trước đó tạo thành 1 cấp số nhân với số hạng đầu là \[{u_1} = \frac{1}{3}{S_0}\] và công bội là \[q = \frac{4}{9}\].
Do đó tổng diện tích tăng thêm ở sau khi thực hiện \[n\] bước là \[\frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{1}{3}{S_0}}}{{1 - \frac{4}{9}}} = \frac{3}{5}{S_0}\].
Vậy diện tích tam giác ở bước thứ \[n\] là \[{S_n} = {S_0} + \frac{3}{5}{S_0} = \frac{8}{5}{S_0} = 640\sqrt 3 \approx 1109\].