Cho một hình bát giác đều ABCDEFGH nội tiếp trong một đường tròn tâm O như hình bên. Gắn ngẫu nhiên tám số tự nhiên {9;10;11;12;13;14;15;16} vào tám đỉnh của bát giác đều này (mỗi số gắn đúng

Đáp án: 107

+ Lấy ba đỉnh trong tám đỉnh sẽ tạo thành một tam giác \(n\left( \Omega  \right) = C_8^3 = 56\).

+ Gọi là biến cố A “lấy được tam giác vuông”

Tam giác vuông khi có một cạnh là đường kính của đường tròn \(O\) và đỉnh còn lại khác với hai đỉnh của cạnh là đường kính. Bát diện đều có bốn đường chéo là đường kính đường tròn \(O\), đỉnh còn lại lấy trong sáu đỉnh

\(n\left( A \right) = 4.6 = 24\).

+ Xác suất của biến cố A: \(p\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{24}}{{56}} = \frac{3}{7}\)

+ Gọi là biến cố B “ba số lập thành cấp số cộng”

Xét các bộ sô có công sai

\(d = 1\) có \(6\) bộ

\(d = 2\) có \(4\) bộ

\(d = 3\) có \(2\) bộ

+ \(n\left( B \right) = 6 + 4 + 2 = 12\)

+ Xác suất của biến cố B: \(p\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{12}}{{56}} = \frac{3}{{14}}\)

Hai biến cố A và B độc lập nên xác suất thu được một tam giác vuông với ba số trên ba đỉnh của tam giác (theo một thứ tự nào đó) lập thành một cấp số cộng là

\(p\left( {AB} \right) = p\left( A \right).p\left( B \right) = \frac{3}{7}.\frac{3}{{14}} = \frac{9}{{98}}\).

Vậy \(m = 9;\,n = 98 \Rightarrow m + n = 9 + 98 = 107\).