Cho một hình bát giác đều A, B, C, D, E, F, G, H. Người ta gắn ngẫu nhiên vào 8 đỉnh này 8 số tự nhiên 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 (mỗi số gắn đúng một đỉnh). Chọn ngẫu nhiên một tam giác có 3 đỉn

Đáp án: 303

Bát giác đều nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\).

+ Lấy ba đỉnh trong tám đỉnh sẽ tạo thành một tam giác \(n\left( \Omega  \right) = C_8^3 = 56\).

+ Gọi là biến cố A “lấy được tam giác vuông”

Tam giác vuông khi có một cạnh là đường kính của đường tròn \(O\) và đỉnh còn lại khác với hai đỉnh của cạnh là đường kính. Bát diện đều có bốn đường chéo là đường kính đường tròn \(O\), đỉnh còn lại lấy trong sáu đỉnh

\(n\left( A \right) = 4.6 = 24\).

+ Xác suất của biến cố A: \(p\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{24}}{{56}} = \frac{3}{7}\)

+ Gọi là biến cố B “ba số lập thành cấp số cộng”

Xét các bộ sô có công sai

\(d = 1\) có \(6\) bộ ((1;2;3), (2;3;4); (3;4;5); (4;5;6); (5;6;7); (6;7;8))

\(d = 2\) có \(4\) bộ ((1;3;5); (2;4;6); (3;5;7); (4;6;8))

\(d = 3\) có \(2\) bộ ((1; 4;7); (2;5;8))

+ \(n\left( B \right) = 6 + 4 + 2 = 12\)

+ Xác suất của biến cố B: \(p\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{12}}{{56}} = \frac{3}{{14}}\)

Hai biến cố A và B độc lập nên xác suất thu được một tam giác vuông với ba số trên ba đỉnh của tam giác (theo một thứ tự nào đó) lập thành một cấp số cộng là

\(p\left( {AB} \right) = p\left( A \right).p\left( B \right) = \frac{3}{7}.\frac{3}{{14}} = \frac{9}{{98}}\).

Vậy \(m = 9;\,n = 98 \Rightarrow m + 3n = 9 + 3.98 = 303\).