Cho một đa giác lồi có diện tích \(2024c{m^2}\). Chứng minh rằng bao giờ cũng vẽ

Bài toán ta cần giải quyết tương đương bài toán tổng quát sau

Cho một đa giác lồi có diện tích bằng S. Chứng minh rằng bao giờ cũng vẽ được trong đa giác đó một tam giác lồi có diện tích không nhỏ hơn \[\frac{3}{8}S\]

Gọi a là đường thẳng chứa cạnh AB của đa giác. Gọi C là đỉnh của đa giác cách xa AB nhất. Qua C kẻ đường thẳng b//a

Kẻ đường thẳng d song song cách đều a và b, kẻ đường thẳng \[{d_1}\] song song cách đều a và d, kẻ đường thẳng \[{d_2}\] song song cách đều b và d. Gọi h là khoảng cách giữa a và b

   Gọi giao điểm của \[{d_1}\] với biên của đa giác là M và N. Kéo dài các cạnh của đa giác chứa M và N cho cắt a và d, ta được một hình thang có diện tích bằng \[MN.\frac{h}{2}\]

Gọi giao điểm của \[{d_2}\]với biên của đa giác là D và E. Kéo dài các cạnh của đa giác chứa D và E cho cắt b và d, ta được một hình thang ( cũng có thể làm tam giác ) có diện tích bằng \[DE.\frac{h}{2}\]

Hai hình thang nói trên phủ toàn bộ đa giác nên tổng các diện tích của hai hình thang lớn hơn hoặc bằng S, do đó: \[\left( {MN + DE} \right).\frac{h}{2}\, \ge S\]

Ta sẽ chứng minh rằng một trong hai tam giác ADE và CMN là tam giác phải tìm. Xét tổng diện tích hai tam giác đó:

\[{S_{ADE}} + {S_{CMN}} = \frac{1}{2}DE.\frac{{3h}}{4} + \frac{1}{2}MN.\frac{{3h}}{4} = \frac{{3h}}{8}\left( {DE + MN} \right)\]

\[ = \frac{3}{4}.\frac{h}{2}\left( {DE + MN} \right) \ge \frac{3}{4}S\]

Tồn tại một trong hai tam giác ADE, CMN có diện tích lớn hơn hoặc bằng \[\frac{3}{8}S\] đó là tam giác cần tìm. Vậy bài toán được chứng minh