Cho một đa giác đều gồm \(2n\) đỉnh ( n lớn hơn bằng 2, n thuộc N )

10/22

Cho một đa giác đều gồm \(2n\) đỉnh \(\left( {n \ge 2,\,n \in \mathbb{N}} \right)\). Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong số \(2n\) đỉnh của đa giác, xác suất ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông là \(\frac{1}{5}\). Tìm \(n\)

\(4\).

\(5.\)

\(10\).

\(8\).

Giải thích

Ta có một đa giác đều \(2n\) cạnh có \(n\) đường chéo đi qua tâm. Ta lấy hai đường chéo thì tạo thành một hình chữ nhật. Mỗi một hình chữ nhật sẽ có bốn tam giác vuông. Vậy số tam giác vuông tạo thành từ đa giác đều \(2n\) đỉnh là \(4.C_n^2 = \frac{{4.n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 2n\left( {n - 1} \right)\),

Không gian mẫu là: \[C_{2n}^3 = \frac{{\left( {2n} \right)!}}{{3!\left( {2n - 3} \right)!}} = \frac{{2n.\left( {2n - 1} \right)\left( {2n - 2} \right)}}{6}\],

Xác suất là: \(P = \frac{{12n\left( {n - 1} \right)}}{{2n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n - 2} \right)}} = \frac{3}{{\left( {2n - 1} \right)}}\),

Theo bài ra thì \(P = \frac{1}{5} \Leftrightarrow \frac{3}{{2n - 1}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow 15 = 2n - 1 \Leftrightarrow n = 8\).