Cho một đa giác đều gồm 2n đỉnh (n ≥ 2, n ∈ N). Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong số 2n đỉnh của đa giác. Xác suất ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông là 1/5. Tìm n.

Đáp án:

Cho một đa giác đều gồm \(2n\) đỉnh \(\left( {n \ge 2,n \in \mathbb{N}} \right)\). Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong số \(2n\) đỉnh của đa giác, xác suất ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông là \(\frac{1}{5}\). Tìm \(n\) bằng \(8.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tổ hợp, chỉnh hợp

Giải chi tiết:

Ta có một đa giác đều \(2n\) cạnh có \(n\) đường chéo đi qua tâm. Ta lấy hai đường chéo thì tạo thành một hình chữ nhật. Mỗi một hình chữ nhật sẽ có bốn tam giác vuông. Vậy số tam giác vuông tạo thành từ đa giác đều đỉnh là \(4.C_n^2 = \frac{{4.n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 2n\left( {n - 1} \right)\),

Không gian mẫu là: \(C_{2n}^3 = \frac{{\left( {2n} \right)!}}{{3!\left( {2n - 3} \right)!}} = \frac{{2n.\left( {2n - 1} \right)\left( {2n - 2} \right)}}{6}\),

Xác suất là: \(P = \frac{{12n\left( {n - 1} \right)}}{{2n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n - 2} \right)}} = \frac{3}{{\left( {2n - 1} \right)}}\),

Theo bài ra thì  \(P = \frac{1}{5} \Leftrightarrow \frac{3}{{2n - 1}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow 15 = 2n - 1 \Leftrightarrow n = 8\).