Cho một đa giác đều có 15 đỉnh. Người ta lập một tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của . Tính số tứ giác được lập thành mà không có cạnh nào là cạnh của .
Giải thích
Đáp án D.
Gọi các đỉnh của đa giác là , ,...,.
Để chọn được một tứ giác thoả mãn ta thực hiện qua các công đoạn:
Chọn một đỉnh có 15 cách, giả sử là 4.
Ta tìm số cách chọn ba đỉnh còn lại, tức ba đỉnh , , và giữa , có đỉnh; giữa , có đỉnh; giữa , có đỉnh và giữa , có đỉnh, theo giả thiết có
x1+x2+x3+x4=15−4=11xm≥1,m=1,4¯
Số cách chọn ra ba đỉnh này bằng số nghiệm tự nhiên của phương trình x1+x2+x3+x4=11
và bằng C11−14−1=C103.
Vậy số các tứ giác có thể bằng , tuy nhiên vì vai trò bốn đỉnh như nhau nên mỗi đa giác được tính 4 lần, do đó số tứ giác bằng 15C1034=450.
Tổng quát: Đa giác có n đỉnh, số tứ giác lập thành từ 4 đỉnh không có cạnh của đa giác là: n4.Cn−53.