Cho một cấp số cộng {u_n} có số hạng đầu tiên {u_1} = 1 và tổng 100 số hạng đầu

93/235

Cho một cấp số cộng \(({u_n})\) có số hạng đầu tiên \({u_1} = 1\) và tổng \(100\) số hạng đầu bằng \(24850.\) Tính \(S = \frac{1}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + \frac{1}{{{u_3}{u_4}}} + \ldots + \frac{1}{{{u_{49}}{u_{50}}}}\).

\(S = \frac{{49}}{{123}}\).

\(S = \frac{8}{{41}}\).

\(S = \frac{{25}}{{123}}\).

\(S = \frac{{49}}{{246}}\).

Giải thích

Giải chi tiết:

Ta có : \(24850 = {S_{100}} = \frac{{100(2.1 + 99d)}}{2} \Leftrightarrow d = 5\)

Khi đó \({u_1} = 1,{u_2} = 6,{u_3} = 11,{u_4} = 16, \ldots {u_{49}} = {u_1} + 48d = 241,\)

\({u_{50}} = {u_1} + 49d = 246\)

\( \Rightarrow S = \frac{1}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + \ldots + \frac{1}{{{u_{49}}.{u_{50}}}}\)

\( = \frac{1}{{1.6}} + \frac{1}{{6.11}} + \frac{1}{{11.16}} + \ldots + \frac{1}{{241.246}}\)

\( = \frac{1}{5}\left( {\frac{1}{1} - \frac{1}{6}} \right) + \frac{1}{5}\left( {\frac{1}{6} - \frac{1}{{11}}} \right) + \ldots + \frac{1}{5}\left( {\frac{1}{{241}} - \frac{1}{{246}}} \right)\)

\( = \frac{1}{5}\left( {1 - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{{11}} + \ldots + \frac{1}{{241}} - \frac{1}{{246}}} \right)\)

\( = \frac{1}{5}\left( {1 - \frac{1}{{246}}} \right) = \frac{{49}}{{246}}\)

Vậy \(S = \frac{{49}}{{246}}.\)

Đáp án cần chọn là: D