Cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(0; 1; 1), B(3; 2; 2), C(4; 3; 5). a) Mặt phẳng (P) có cặp vectơ chỉ phương là

a) Đ

b) S

c) Đ

d) S

Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(0; 1; 1), B(3; 2; 2), C(4; 3; 5) nên có cặp vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;1} \right)\], \[\overrightarrow {AC} = \left( {4;2;4} \right)\].

Ta có: \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\2&4\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\4&4\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\4&2\end{array}} \right|} \right) = \left( {2; - 8;2} \right) = 2\left( {1; - 4;1} \right)\].

Vậy \[\overrightarrow n = \left( {1; - 4;1} \right)\] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Phương trình mặt phẳng (P) là:

1(x – 0) – 4(y – 1) + 1(z – 1) = 0 hay x – 4y + z + 3 = 0.

Thay điểm M(1; 2; 4) vào (P), ta được: 1 – 4.2 + 4 + 3 = 0.

Vậy mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 2; 4).

Đường thẳng d: \[\frac{{x + 2}}{1} = \frac{y}{{ - 4}} = \frac{{z + 1}}{1}\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left( {1; - 4;1} \right)\].

Ta có: α = sin(d, (P)) = \[\left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right|\]

             \[ = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + \left( { - 4} \right).\left( { - 4} \right) + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {1^2}} }} = 1\].

⇒ α = 0°.