Cho mặt cầuS:x+12+y−42+z2=8 và các điểm A3;0;0 , B4;2;1 . Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc mặt cầu (S) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA+2MB ?

Mặt cầu (S)  có tâm I−1;4;0 , bán kính R=22 .

IA=42=2​R=2IM; IB=30>R⇒B    nằm ngoài mặt cầu (S) .

Lấy điểm K  thuộc tia IA sao choIK→=14IA→⇒K0;3;0 .

 ⇒IK=12R=12IM⇒K  nằm trong mặt cầu (S)

Lại có:ΔIAM~ΔIMK c.g.c⇒MAKM=IAIM=2⇔MA=2MK   .

Suy ra: MA+2MB=2MK+2MB≥2BK=62 .

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔M=BK∩S  và M  nằm giữa B, K .

Vậy MA+2MBmin=62 .