Cho mặt cầu tâm O, bán kính R. Hình trụ (H) có bán kính đáy là r nội tiếp mặt cầu. Thể tích khối trụ được tạo nên bởi (H) có thể tích lớn nhất khi r bằng

Đáp án B

Hình trụ nội tiếp trong mặt cầu có tâm đáy là E, có bán kính EA = r (0 < r < R), đường cao KE = 2EI.

Xét tam giác vuông IEA có IE=IA2−EA2=R2−r2

Thể tích của khối trụ là V=h.πr2=2IE.πr2=2πr2.R2−r2

Xét hàm số y=r2.R2−r2 với (0 < r < R)

Có y'=2r.R2−r2+r2.−2r2R2−r2=2r.R2−r2−r3R2−r2=2rR2−3r3R2−r2

y'=0⇔2rR2−3r3=0⇔r(2R2−3r2)=0⇔r=63R.

Bảng biến thiên

Nhìn Bảng biến thiên ta thấy ⇔y≥y63R⇒ymax=y63R.

Dấu bằng xảy ra ⇔r=63R. Vậy thể tích hình trụ lớn nhất ⇔ymax⇔r=63R.