Cho mặt cầu (S) có bán kính R. Hình nón (N) thay đổi có đỉnh và đường kính

Phương pháp:

- Gọi h là chiều cao của hình nón, r là bán kính đường tròn đáy của hình nón. Sử dụng định lí Pytago biểu diễn r theo h, R.

- Thể tích khối nón có chiều cao h bán kính đáy r là V=13πr2h.

- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN của thể tích.

Cách giải:

Gọi h là chiều cao của hình nón. Để thể tích khối nón là lớn nhất thì hiển nhiên h > R.

Gọi r là bán kính đường tròn đáy của hình nón.

Ta có IH=SH−SI=h−R.

Áp dụng định lí Pytago ta có r=R2−h−R2=2hR−h2.

⇒ Thể tích khối nón là V=13πr2h=13π2hR−h2.h=π32Rh2−h3.

Xét hàm số fh=−h3+2Rh2 với h > R ta có f'h=−3h2+4Rh=0⇔h=0ktmh=4R3tm.

⇒Vmax=π3.f4R3=π3.2R.16R29−64R327=32πR381.

Chọn D.