Cho mặt cầu ( S ) có tâm I . Mặt phẳng ( α ) không đi qua I cắt mặt cầu ( S ) theo một đường tròn có chu vi 16 π c m . Biết đường kính C D của ( S ) vuông góc với ( α ) tại H

61/100

Phần tư duy toán họcCho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ không đi qua $I$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo một đường tròn có chu vi $16\pi {\rm{cm}}$. Biết đường kính $CD$ của $\left( S \right)$ vuông góc với $\left( \alpha \right)$ tại $H$ và $CH = 16{\rm{\;cm}}$ (điểm $I$ nằm giữa $C$ và $H$). Diện tích mặt cầu $\left( S \right)$ bằng bao nhiêu?

$400\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^2}$.

$640\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^2}$.

$160\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^2}$.

$800\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^2}$.

Giải thích

$Cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ không đi qua $I$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo một đường tròn có chu vi $16\pi {\rm{cm}}$. Biết đường kính $CD$ của $\left( S \right)$ vuông góc với $\left( \alpha \right)$ tại $H$ và $CH = 16{\rm{\;cm}}$ (điểm $I$ nằm giữa $C$ và $H$). Diện tích mặt cầu $\left( S \right)$ bằng bao nhiêu? A. $400\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^2}$. B. $640\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^2}$. C. $160\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^2}$. D. $800\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^2}$. (ảnh 1)$

Gọi $M$ là một giao điểm của $\left( S \right)$ và $\left( \alpha \right)$.

Vì mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ giao mặt cầu $\left( S \right)$ theo một đường tròn có chu vi $16\pi {\rm{cm}}$

$ \Rightarrow 2\pi HM = 16\pi \Leftrightarrow HM = 8\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Gọi bán kính của $\left( S \right)$ là $R$.

Ta có: $CH = R + IH \Leftrightarrow R + IH = 16 \Leftrightarrow IH = 16 - R$.

Áp dụng định lí Pythagore đối với tam giác vuông $IHM$ :

$I{M^2} = I{H^2} + H{M^2} \Leftrightarrow {R^2} = {(16 - R)^2} + {8^2} \Leftrightarrow - 32R + 320 = 0 \Leftrightarrow R = 10\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Vậy diện tích mặt cầu $\left( S \right)$ là $S = 4\pi {R^2} = 400\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Chọn A