Cho M(a; b) là điểm nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x^3 − 3x và hai điểm A(1; 2), B(2; 1). Khi MA + MB ngắn nhất thì giá trị b − a bằng bao nhiêu?

10/40

Cho\[M\left( {a;b} \right)\] là điểm nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x\) và hai điểm \[A\left( {1;2} \right),{\rm{ }}B\left( {2;1} \right)\]. Khi \[MA + MB\] ngắn nhất thì giá trị \(b - a\) bằng bao nhiêu?

\(1\).

\[5\].

\(3\).

\(4\).

Giải thích

Tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x\) là \(\left( { - 1;2} \right);\left( {1; - 2} \right)\).

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị \(2x + y = 0\)(d).

Hai điểm A, B nằm cùng phía đối với d . Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với A qua d.

Khi đó \[MA{\rm{ }} + {\rm{ }}MB = MA'{\rm{ }} + {\rm{ }}MB \ge A'B\].

Do đó \[MA + MB\] ngắn nhất thì \(M,A',B\)thẳng hàng hay \(M = A'B \cap d\).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua A và vuông góc d.

Khi đó đường thẳng \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x - 2y + 3 = 0\).

Gọi I là giao điểm của d và \(\Delta \)\( \Rightarrow I\left( { - \frac{3}{5};\frac{6}{5}} \right)\)\( \Rightarrow A'\left( { - \frac{{11}}{5};\frac{2}{5}} \right)\).

\(\overrightarrow {A'B} = \left( {\frac{{21}}{5};\frac{3}{5}} \right) \Rightarrow \)một vectơ pháp tuyến của \(A'B\)là \(\overrightarrow n \left( {3; - 21} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(A'B\):\(3\left( {x - 2} \right) - 21\left( {y - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 3x - 21y + 15 = 0\).

\(M = A'B \cap d \Rightarrow M\left( { - \frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)\)nên \(a = - \frac{1}{3};b = \frac{2}{3}\)

Khi đó \(b - a = \frac{2}{3} - \left( { - \frac{1}{3}} \right) = 1\). Chọn A.