Cho Δ M N P vuông tại M ( M P < M N ) . Trên cạnh M N lấy điểm Q sao cho M Q = M P , trên tia đối của tia M P lấy điểm R sao cho M R = M N . Gọi R N giao P Q tại S .
13/20
Cho \(\Delta MNP\) vuông tại \(M\,\,\left( {MP < MN} \right)\). Trên cạnh \(MN\) lấy điểm \(Q\) sao cho \(MQ = MP\), trên tia đối của tia \(MP\) lấy điểm \(R\) sao cho \(MR = MN\). Gọi \(RN\) giao \(PQ\) tại \(S\).
Khi đó:
\(\Delta MPQ\) cân tại \(M.\)
\(\widehat {SRP} = 60^\circ \).
\(PQ \bot NR.\)
\(Q\) là trực tâm của \(\Delta PRN\).
a) Đúng.
Ta có: \(MQ = MP\) (gt) nên \(\Delta MPQ\) cân tại \(M.\)
b) Sai.
Có \(\Delta MPQ\) cân tại \(M\) nên \(\widehat {MPQ} = \frac{{180^\circ - \widehat {PMQ}}}{2} = \frac{{180 - 90^\circ }}{2} = 45^\circ \).
Vì \(MR = MN\) (gt) nên \(\Delta MNR\) cân tại \(M\).
Do đó, \[\widehat {SRP} = \frac{{180^\circ - \widehat {RMN}}}{2} = \frac{{180^\circ - 90^\circ }}{2} = 45^\circ \].
c) Đúng.
Ta có: \[\widehat {RSP} + \widehat {SRP} + \widehat {SPR} = 180^\circ \] (định lí tổng ba góc trong tam giác)
\(\widehat {RSP} = 180^\circ - \left( {\widehat {SRP} + \widehat {SPR}} \right) = 90^\circ \)
Suy ra \(PQ \bot NR\).
d) Đúng.
Xét \(\Delta PRN\) có: \(MN \bot RP\) (gt) và \(PS \bot RN\) (cmt)
Mà \(NM\) giao \(PS\) tại \(Q\).
Do đó, \(Q\) là trực tâm \(\Delta PRN\).