Cho M= (3/1.4 + 3/2.6 + 3/3.8 + 3/4.10 + ... + 3/49.100)/ (1-1/4)(1-1/5)(1-1/6)...(1-1/100) . Chứng tỏ rằng M có giá trị là một số nguyên.
Giải thích
Đặt A=31.4+32.6+33.8+34.10+...+349.100;
B=1−141−151−16...1−1100;
Ta có A=31.4+32.6+33.8+34.10+...+349.100
=62.4+44.6+66.8+68.10+...+698.100=3.22.4+24.6+26.8+28.10+...+298.100=3.12−14+14−16+16−18+18−110+...+198−1100=3.12−1100=3.49100.
Với: B=1−141−151−16...1−1100
=34.45.56...99100.
Suy ra M=AB=3.49100:3100=3.49100.1003=49
Ta thấy 49 ∈ ℕ.
Do đó biểu thức M là một giá trị nguyên.