Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh A

17/233

Cho lăng trụ tứ giác \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), góc \(BAC = {60^ \circ }\). Biết \(AA' = A'B = A'D\) và cạnh bên \(AA'\) hợp với mặt phẳng đáy góc \({60^ \circ }\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(CC'\) và \(BD\).

\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}a\).

\(\frac{3}{4}a\).

\(\frac{2}{3}a\).

\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}a\).

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Lời giải

Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh A (ảnh 1)

Ta có: \(\Delta ABD\) cân tại \(A\) và \(\widehat {BAC} = {60^ \circ } \Rightarrow \Delta ABD\) đều \( \Rightarrow AO = OC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác đều \(ABD\). Do \(AA' = A'B = A'D \Rightarrow A'G \bot \left( {ABCD} \right)\).

Khi đó góc hợp bởi \(AA'\) với mặt đáy là \(\widehat {A'AG} = {60^ \circ }\).

Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BD \bot AC}\\{BD \bot A'G}\end{array} \Rightarrow BD \bot \left( {A'ACC'} \right) \Rightarrow BD \bot CC'} \right.\).

Gọi \(O = AC \cap BD\). Từ \(O\) kẻ \(OK \bot CC'\left( {K \in CC'} \right)\). Khi đó \(OK\) là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng \(BD,CC' \Rightarrow OK = d\left( {BD,CC'} \right)\).

Xét hình bình hành \(AA'C'C\), ta có: \(\widehat {A'AG} = \widehat {ACK} = {60^ \circ }\).

\(\sin \widehat {ACK} = \frac{{OK}}{{OC}} \Rightarrow OK = OC.\sin {60^ \circ } = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{4}\).