Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi alpha là góc giữa hai mặt phẳng (AB'C') và (A'B'C'). Tính giá trị của tan alpha?

13/50

Cho lăng trụ tam giác đều \[ABC.A'B'C'\] có tất cả các cạnh đều bằng \[a\]. Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {AB'C'} \right)\] và \[\left( {A'B'C'} \right)\]. Tính giá trị của\[\tan \alpha \]?

\[\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\].

\[\frac{{\sqrt 3 }}{3}\].

\[\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\].

\[\frac{{\sqrt 3 }}{2}\].

Giải thích

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi alpha là góc giữa hai mặt phẳng (AB'C') và (A'B'C'). Tính giá trị của tan alpha? (ảnh 1)

Gọi \[H\] là trung điểm của \[B'C'\]

\[ \Rightarrow AH \bot B'C'\] (do \[\Delta AB'C'\] cân tại \[A\]) và \[A'H \bot B'C'\](do \[\Delta A'B'C'\]đều).

Suy ra \[\left( {\left( {AB'C'} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \left( {AH,A'H} \right) = \widehat {AHA'}\].

Vì \[\Delta A'B'C'\] đều cạnh \(a\) nên \(A'H = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét \(\Delta AA'H\)vuông tại \(A'\), có \[\tan \widehat {AHA'} = \frac{{AA'}}{{A'H}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\].