Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng nhau

Kết quả bài toán sẽ không thay đổi nếu ta xét lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng 2.

Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] như hình vẽ (\(O\) là trung điểm của \(BC\)).

Ta có \(A'\left( {0\,;\,\, - \sqrt 3 \,;\,\,2} \right),\,\,B\left( {1\,;\,\,0\,;\,\,0} \right),\,\,C\left( { - 1\,;\,\,0;0} \right),\,\,C'\left( { - 1\,;\,\,0\,;\,\,2} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {CA'} = \left( {1\,;\,\, - \sqrt 3 \,;\,\,2} \right),\overrightarrow {BC'} = \left( { - 2\,;\,\,0\,;\,\,2} \right).\)

Do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {CM} = m\overrightarrow {CA'} }\\{\overrightarrow {BN} = n\overrightarrow {BC'} }\end{array}} \right.\) nên ta có \(M\left( { - 1 + m\,;\,\, - \sqrt 3 m\,;\,\,2m} \right),N\left( {1 - 2n\,;\,\,0\,;\,\,2n} \right).\)

Suy ra \(\overrightarrow {MN} = \left( { - m - 2n + 2\,;\,\,\sqrt 3 m\,;\,\,2n - 2m} \right).\)

Đường thẳng \[MN\] là đường vuông góc chung của \(A'C\) và \(BC'\) nên

\[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {CA'} = 0\\\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {BC'} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4m + n = - 1\\ - m + 4n = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = \frac{2}{5}}\\{n = \frac{3}{5}}\end{array}} \right.\]\( \Rightarrow \frac{{BN}}{{BC'}} = n = \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{{NB}}{{NC'}} = \frac{3}{2}.\)

Đáp án cần nhập là: 1,5.