Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a, G là trọng tâm tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.              c) Sai.                   d) Sai.

a) Sai. Ta có \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng hướng nên chúng không bằng nhau.

b) Đúng. \(\overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AB'} \).

Khi đó \(\left| {\overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB'} } \right| = a\sqrt 2 \).

c) Sai. Do G là trọng tâm tam giác ABC nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).

Khi đó \(\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {A'C} \)\( = \overrightarrow {A'G} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {A'G} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {A'G} + \overrightarrow {GC} \)\( = 3\overrightarrow {A'G} \).

d) Sai. \(\left| {\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {A'C} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {A'G} } \right|\).

Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có \(AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Xét tam giác AA'G, ta có \(A'G = \sqrt {A{{A'}^2} + A{G^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \(\left| {\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {A'C} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {A'G} } \right| = 2a\sqrt 3 \).