Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại A, AB = 2 ; AC = căn bậc hai 3 Góc CAA' = 90 độ, góc BAA' = 120 độ
Giải thích
Chọn C
Đặt A'A=x x>0. Ta có CA⊥ABCA⊥AA'⇒CA⊥ABB'A'⇒CA⊥A'B
Lại có A'B⊥CM nên A'B⊥CMA⇒A'B⊥AM.
Xét tam giác BAA' có AB=2, AA'=x và BAA'^=1200. Theo Định lý hàm số cos ta có
A'B=x2+22−2.x.2.cos1200=x2+2x+4⇒IA'=23A'B=23x2+2x+4
Xét tam giác ABM có AB=2, BM=x2 và MBA^=600. Theo Định lý hàm số cos ta có
AM=x22+22−2.x2.2.cos600=x24−x+4 ⇒IA=23AM=23x24−x+4
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông A'IA có IA'2+IA2=A'A2⇔49x2+2x+4+49x24−x+4=x2
⇔49x2−49x−329=0⇔x2−x−8=0⇔x=1+332 (Do x > 0)
Xét tứ diện C.ABA' có CA⊥ABA' nên VC.ABA'=13SΔABA'.CA=13.12AB.AA'.sin1200.3=13.12.2.1+332.32.3=1+334
Vậy VABC.A'B'C'=3.VC.ABA'=31+334.