Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C'có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B

12/50

Cho lăng trụ đứng tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với \(BA = BC = a\), biết mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) hợp với mặt phẳng đáy \(\left( {ABC} \right)\) một góc 60°. Tính thề tích khối lăng trụ đã cho.

\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).

\(\sqrt 3 {a^3}\).

\(\frac{{{a^3}}}{2}\).

\(\frac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).

Giải thích

Đáp án A

Hai mặt \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {ABB'A'} \right)\) vuông góc với nhau hiển nhiên. Ta thấy BC vuông góc với \(\left( {ABB'A'} \right)\) nên mặt phẳng \(\left( {ABA'} \right)\) cùng vuông góc với hai mặt \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\).

Như vậy \(\widehat {ABA'} = 60^\circ \Rightarrow AA' = AB\sin 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), thể tích lăng trụ \(V = {a^2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).