Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C'′ . Biết rằng AB = AC = 3 , ˆ BAC = 120 ∘ và số đo của góc nhị diện [ A , B ′C ′ , A ′ ] bằng 30 ∘ .

6/50

Cho lăng trụ đứng tam giác $ABC.A'B'C'$. Biết rằng $AB = AC = 3$, $\widehat {BAC} = 120^\circ $ và số đo của góc nhị diện $\left[ {A,B'C',A'} \right]$ bằng $30^\circ $. Khoảng cách giữa đường thẳng $BC$ và mặt phẳng $\left( {AB'C'} \right)$ là

$\frac{{\sqrt 5 }}{2}$.

$\sqrt 5 $.

$\frac{3}{4}$.

$\frac{4}{3}$.

Giải thích

$Gọi $M$ là trung điểm (ảnh 1)$

Gọi $M$ là trung điểm của $B'C'$.

Do tam giác $ABC$ cân tại $A$ và lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là lăng trụ đứng nên $A'M \bot B'C'$ và $AM \bot B'C$.

Vậy $\left[ {A,B'C',A'} \right] = \widehat {A'MA} = 30^\circ $.

Xét tam giác $A'C'B'$ có $A'C' = A'B' = 3$ và $\widehat {B'A'C'} = 120^\circ $ nên $A'M = 1,5$.

Xét tam giác $AA'M$ vuông tại $A'$ có $AA' = A'M \cdot \tan 30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Do $A'C$ cắt $AC'$ tại trung điểm I nên ta có

$d\left( {BC,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\left( {A',\left( {AB'C'} \right)} \right) = A'H$.

Có $\frac{1}{{A'{H^2}}} = \frac{1}{{A'{M^2}}} + \frac{1}{{A'{A^2}}} = \frac{{16}}{9} \Rightarrow A'H = \frac{3}{4}$.

Vậy $d\left( {BC,\left( {AB'C'} \right)} \right) = \frac{3}{4}$. Chọn C.