Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' đáy là hình thoi có cạnh bằng a , ˆ BAD = 120 ∘ . Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( A ′BD ) bằng √ 2/4 a .

16/50

Cho lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) đáy là hình thoi có cạnh bằng \(a\), \(\widehat {BAD} = 120^\circ \). Khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) bằng \(\frac{{\sqrt 2 }}{4}a\). Tính thể tích khối lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\).

\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}{a^3}\).

\(\frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^3}\).

\(\frac{1}{2}{a^3}\).

\({a^3}\).

Giải thích

Khi biểu diễn trên đường tròn lư (ảnh 1)

Ta có tam giác \(ABC\) là tam giác đều có cạnh bằng \(a\)

Suy ra \({S_{ABCD}} = 2{S_{ABC}} = 2 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{2}\).

Ta có vì \(O\) là trung điểm của \(AC \Rightarrow d\left( {C,\left( {A'BD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {A'BD} \right)} \right)\).

\(BD \bot AC,BD \bot A'A \Rightarrow BD \bot \left( {A'AC} \right)\)\( \Rightarrow \left( {A'BD} \right) \bot \left( {A'AC} \right);\left( {A'BD} \right) \cap \left( {A'AC} \right) = A'O\).

Kẻ \(AH \bot A'O\) tại \(H \Rightarrow AH \bot \left( {A'BD} \right)\).

Suy ra \(d\left( {A,\left( {A'BD} \right)} \right) = AH = \frac{{\sqrt 2 }}{4}a\).

Xét tam giác \(A'AO\) vuông tại \(A\) có \(AO = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2}\).

Và \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A'{A^2}}} + \frac{1}{{A{O^2}}} \Leftrightarrow A'A = \frac{a}{2}\).

Thể tích khối lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) là \(V = {S_{ABCD}} \cdot A'A = \frac{{\sqrt 3 }}{2}{a^2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^3}\). Chọn B.