Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' . Gọi M là trung điểm của BC . Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng ( A ′BC ) và ( ABC ) là 30 độ . Tam giác A ′BC đều và có diện tích bằng căn 3 .

Đặt BC=x⇒S△A'BC=x234=3⇔x=2.

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) suy ra \(BC \bot A'M\) (Do tam giác đều). Khi đó ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}BC \bot A'M\\BC \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot AM\].

Vậy \[\left( {\left( {A'BC} \right)\,;\,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {A'M\,;\,AM} \right) = \widehat {A'MA} = {30^{\rm{o}}} \Rightarrow AA' = A'M.\sin 30^\circ  = \sqrt 3 .\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\].

Áp dụng công thức: S'=S.cosφ⇒S△ABC=S△A'BC.cos30o=32.

Suy ra thể tích của lăng trụ là: VABC.A'B'C'=AA'.S△ABC=32.32=334.

a) Sai: Độ dài cạnh \(BC\) bằng \(2\).

b) Đúng: Hai đường thẳng \(BC\) và\(AM\) vuông góc với nhau.

c) Sai: Góc tạo bởi hai mặt phẳng \[\left( {A'BC} \right)\] và \[\left( {ABC} \right)\] bằng \({30^0}\)

d) Đúng: Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng \(\frac{{3\sqrt 3 }}{4}\).