Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông và AB = BC = a, AA' = a căn bậc hai 2, M là trung điểm của BC. Khoảng cách d giữa hai đường thẳng AM và B'C được viết dưới dạng d = a căn

Đáp án: 14.

Do \(\Delta ABC\) vuông và có \(AB = BC\) nên \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(B\).

Gọi \(N\) là trung điểm của \(BB'\), ta có: \(B'C{\rm{//}}\left( {AMN} \right)\).

Khi đó: \(d\left( {AM,B'C} \right) = d\left( {B'C,\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {AMN} \right)} \right)\).

Kẻ \(BH \bot AM\) tại \(H\) và kẻ \(BK \bot NH\) tại \(K\).

Ta có: \(BH \bot AM,BN \bot AM \Rightarrow AM \bot \left( {NBH} \right) \Rightarrow BK \bot AM\).

Do \(BK \bot NH\), \(BK \bot AM\) nên \(BK \bot \left( {AMN} \right)\).

Suy ra: \(d\left( {B,\left( {AMN} \right)} \right) = BK\).

Mặt khác: \(BH = \frac{{BM.BA}}{{\sqrt {B{M^2} + B{A^2}} }} = \frac{{\sqrt 5 a}}{5}\); \(BK = \frac{{BH.BN}}{{\sqrt {B{H^2} + B{N^2}} }} = \frac{{a\sqrt 7 }}{7}\).

Vậy \[d\left( {AM,B'C} \right) = d\left( {B,\left( {AMN} \right)} \right) = BK = \frac{{a\sqrt 7 }}{7}\].

Vậy \(m = n = 7\). Tổng \(m + n = 14\).