Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại A

14/22

Cho lăng trụ đứng \(ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\), biết \(AB = a\), \(AC = a\sqrt 3 \) và ACB',ABB'A'=60°. Khi đó:

\({A^\prime }A \bot (ABC)\)

ĐúngSai

\(\left( {\left( {AC{B^\prime }} \right),\left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right)} \right) = 60^\circ \).

ĐúngSai

ACC'A',BCC'B'=30°

ĐúngSai

Tổng diện tích ba mặt bên của hình lăng trụ đã cho bằng \((3\sqrt 3 + 3){a^2}\

ĐúngSai

Giải thích

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Vì \(ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) là lăng trụ đứng nên \({A^\prime }A \bot (ABC) \Rightarrow {A^\prime }A \bot AC\).

Mặt khác \(AB \bot AC\).

Vì vậy \(AC \bot \left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right)\), mà \(AC \subset \left( {AC{B^\prime }} \right)\) nên \(\left( {AC{B^\prime }} \right) \bot \left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right)\).

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại A (ảnh 1)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{C{C^\prime } = \left( {AC{C^\prime }{A^\prime }} \right) \cap \left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)}\\{AC \bot C{C^\prime },BC \bot C{C^\prime }}\\{AC \subset \left( {AC{C^\prime }{A^\prime }} \right),BC \subset \left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {\left( {AC{C^\prime }{A^\prime }} \right),\left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)} \right) = (AC,BC) = \widehat {ACB}\)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có: tanACB^=ABAC=aa3=13⇒ACB^=30°

Vậy ACC'A',BCC'B'=ACB^=30°

Ta có: AC=ACB'∩(ABC)AB⊥AC,AB'⊥ACAB⊂(ABC),AB'⊂ACB'⇒ACB',(ABC)=AB',AB=BAB'^=60°.

Tam giác \(AB{B^\prime }\) vuông tại \(B\) có:

BB'=ABtan60°=a3.

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 2a.\)

Tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ:

\(a \cdot a\sqrt 3 + 2a \cdot a\sqrt 3 + a\sqrt 3 \cdot a\sqrt 3 = (3\sqrt 3 + 3){a^2}\)