Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA = BC = 1. Cạnh A'B tạo với mặt đáy (ABC) góc 60 độ. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

54/78

Cho lăng trụ đứng \[ABC.A'B'C'\] có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \[B\] và \[BA = BC = 1\]. Cạnh \[A'B\] tạo với mặt đáy \[\left( {ABC} \right)\] góc \[{60^0}\]. Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ đã cho.

\(V = \sqrt 3 \).

\(V = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\).

\(V = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

\(V = \frac{1}{2}\).

Giải thích

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA = BC = 1. Cạnh A'B tạo với mặt đáy (ABC) góc 60 độ. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. (ảnh 1)

Vì \[ABC.A'B'C'\] là lăng trụ đứng nên \[AA' \bot \left( {ABC} \right)\], suy ra hình chiếu vuông góc của \(A'B\) trên mặt đáy \(\left( {ABC} \right)\) là \(AB\).

Do đó góc giữa đường thẳng \(A'B\) và mặt phẳng đáy \(\left( {ABC} \right)\) là \(\widehat {ABA'} = 60^\circ \)

Tam giác vuông \(A'AB\), ta có \(AA' = AB.\tan \widehat {A'BA} = \sqrt 3 .\)

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{1}{2}.\)

Vậy \(V = {S_{\Delta ABC}}.AA' = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)