Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Gọi \({D^\prime }\) là trung điểm của \({B^\prime }{C^\prime }\).

Kẻ \({B^\prime }H \bot B{D^\prime }\).

Chứng minh \(d\left( {{A^\prime }B;{C^\prime }D} \right) = {B^\prime }H\).

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính \({B^\prime }H\).

Lời giải

Gọi \({D^\prime }\) là trung điểm của \({B^\prime }{C^\prime }\), ta có \(BD{C^\prime }{D^\prime }\) là hình bình hành

\( \Rightarrow {C^\prime }D//B{D^\prime } \Rightarrow {C^\prime }D//\left( {{A^\prime }B{D^\prime }} \right)\).

Kẻ \({B^\prime }H \bot B{D^\prime }\).

Ta có: \(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{{A^\prime }{D^\prime } \bot {B^\prime }{C^\prime }}\\{{A^\prime }{D^\prime } \bot B{B^\prime }}\end{array}} \right\} \Rightarrow {A^\prime }{D^\prime } \bot \left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right) \Rightarrow {A^\prime }{D^\prime } \bot {B^\prime }H\).

\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{{B^\prime }H \bot B{D^\prime }}\\{{B^\prime }H \bot {A^\prime }{D^\prime }}\end{array}} \right\} \Rightarrow {B^\prime }H \bot \left( {{A^\prime }B{D^\prime }} \right).\)

Suy ra,

\(d\left( {{A^\prime }B,{C^\prime }D} \right) = d\left( {{C^\prime }D;\left( {{A^\prime }B{D^\prime }} \right)} \right) = d\left( {{C^\prime };\left( {{A^\prime }B{D^\prime }} \right)} \right) = d\left( {{B^\prime };\left( {{A^\prime }B{D^\prime }} \right)} \right) = {B^\prime }H.\)

Ta có: \({B^\prime }{D^\prime } = \frac{a}{2};B{B^\prime } = 2a\).

Xét \(\Delta B{B^\prime }{D^\prime }\) vuông tại \({B^\prime }\) ta có:

\(\frac{1}{{{B^\prime }{H^2}}} = \frac{1}{{B{B^{\prime 2}}}} + \frac{1}{{{B^\prime }{D^{\prime 2}}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} \Rightarrow BH = \frac{{2a}}{{\sqrt {17} }}.\)