Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là một tam giác cân với AB = AC = a. góc BAC = 120 độ,

16/25

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là một tam giác cân với AB=AC=a,BAC^=120o, cạnh bên BB' = a. Gọi I là trung điểm CC'. Chứng minh rằng tam giác AB'I vuông ở A. Côsin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I) bằng

1510.

3010.

1030.

1530.

Giải thích

Chọn đáp án B. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là một tam giác cân với AB = AC = a. góc BAC = 120 độ, (ảnh 1)

Áp dụng định lý Côsin cho ∆ABC ta có:

BC2=AB2+AC2−2AB.AC.cosA=a2+a2−2a2cos120o=3a2.

Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:

B'A2=2a2;AI2=a2+a22=5a24;B'I2=3a2+a24=13a24.

Ta có: B'A2+AI2=2a2+5a24=13a24=B'I2⇒ΔAB'I vuông ở A.

Ta có: SΔAB'I=12AI.AB'=12.a52.a2=a2104.

SΔABC=12a2sin120o=a234.

Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I).

Ta có cosφ=SΔABCSΔABI'=a234a2104=310=3010.