Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AC=2, BC=3, góc ACB=120°, gọi M là trung điểm của BB'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CC'. (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Đáp án: 1,2.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CC'{\rm{//}}BB'\\BB' \subset \left( {ABB'A'} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CC'{\rm{//}}\left( {ABB'A'} \right)\)

Mà \(AM \subset \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow d\left( {AM,CC'} \right) = d\left( {CC',\left( {ABB'C'} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(CH \bot AB \Rightarrow CH \bot \left( {ABB'C'} \right) \Rightarrow d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = CH\).

Xét \(\Delta ABC\) có:

\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos \widehat {ACB} = {2^2} + {3^2} - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos 120^\circ  = 4 + 9 - 12 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = 19\)\( \Rightarrow AB = \sqrt {19} \).

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin \widehat {ACB} = \frac{1}{2}CH \cdot AB \Rightarrow CH = \frac{{AC \cdot BC \cdot \sin \widehat {ACB}}}{{AB}} = \frac{{3\sqrt {57} }}{{19}} \simeq 1,2\)

Vậy \(d\left( {AM,CC'} \right) = \frac{{3\sqrt {57} }}{{19}} \simeq 1,2\).