Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(AC = a,BC = 2a,\widehat {ACB} = 120^\circ \). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BB'\).

Ta có: \(CC'\,{\rm{//}}\,BB' \Rightarrow CC'{\rm{//}}\left( {ABB'A'} \right)\) nên

\(d\left( {CC',\left( {ABB'A'} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right)\).

Trong mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), kẻ \(CH \bot AB\) tại \(H\). (1)

Vì \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ đứng nên

\(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow CH \bot AA'\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra

\(CH \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = CH\).

Xét tam giác \(ABC\), có \(A{B^2} = C{A^2} + C{B^2} - 2CA \cdot CB \cdot \cos 120^\circ  = 7{a^2}\)\( \Rightarrow AB = a\sqrt 7 \).

Diện tích tam giác \(ABC\) là: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}CA \cdot CB \cdot \sin C = \frac{1}{2}AB \cdot CH\)

 \( \Rightarrow CH = \frac{{CA \cdot CB \cdot \sin 120^\circ }}{{AB}} = \frac{{a \cdot 2a \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{a\sqrt 7 }} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\). Vậy \(d\left( {CC',\left( {ABB'A'} \right)} \right) = CH = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Ta có \(AM\) và \(CC'\) là hai đường thẳng chéo nhau, mà \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CC'\,{\rm{//}}\left( {ABB'A'} \right)}\\{AM \subset \left( {ABB'A'} \right)}\end{array}} \right.\) nên

\(d\left( {CC',AM} \right) = d\left( {CC',\left( {ABB'A'} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Vì \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ đứng nên \(AA' \bot \left( {ABC} \right),AA' \bot \left( {A'B'C'} \right)\).

Do vậy \(d\left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = AA' = 2a\).

Khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có chiều cao \(h = AA' = 2a\), diện tích đáy là:

\(S = {S_{ABC}} = \frac{1}{2}CA \cdot CB \cdot \sin 120^\circ  = \frac{1}{2}a \cdot 2a \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\)

Thể tích khối lăng trụ là: \(V = Sh = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} \cdot 2a = {a^3}\sqrt 3 \).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Sai,                   c) Đúng,      d) Đúng.