Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AC = a, BC = 2a, góc ACB = 120° . Biết số đo góc nhị diện [C, AB, C'] bằng 60°.

14/22

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có $AC = a,BC = 2a,\widehat {ACB} = 120^\circ $. Biết số đo góc nhị diện $\left[ {C,AB,C'} \right]$ bằng $60^\circ $.

Diện tích tam giác $ABC$ là $\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$.

ĐúngSai

$CC' = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}$.

ĐúngSai

Khoảng cách từ điểm $C$đến mặt phẳng $(ABC')$ là $\frac{{3a\sqrt 7 }}{{14}}$.

ĐúngSai

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BC$ và $AC'$ là $\frac{{3a\sqrt {19} }}{{19}}$.

ĐúngSai

Giải thích

$Từ $C$ kẻ $CH \bot AB$ Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot (ảnh 1)$

Từ $C$ kẻ $CH \bot AB$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot CH\\AB \bot CC'\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {CHC'} \right) \Rightarrow AB \bot C'H$

Nên góc nhị diện $\left[ {C,AB,C'} \right]$ là $\widehat {C'HC} \Rightarrow \widehat {C'HC} = 60^\circ $

a) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác$ABC$ ta có

${S_{ABC}} = \frac{1}{2}a.a.\sin \left( {ACB} \right) = \frac{1}{2}a.2a.\sin 120^\circ = \frac{1}{2}a.2a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$ nên a ĐÚNG

b) Áp dụng định lý côsin trong $\Delta ABC:A{B^2} = {a^2} + {\left( {2a} \right)^2} - 2a.2a.cos120^\circ = 7{a^2}$

$ \Rightarrow AB = a\sqrt 7 $

Mà ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}a.a.\sin \left( {ACB} \right) = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{1}{2}CH.AB \Rightarrow CH = \frac{{2.{S_{ABC}}}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}$.

Trong $\Delta CHC'$ vuông tại $C \Rightarrow CC' = CH.\tan 60^\circ = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}.\sqrt 3 = \frac{{3a\sqrt 7 }}{7}$ nên b SAI

c) Trong $\Delta CHC'$vuông, kẻ $CK \bot C'H$ tại $K$.

Khi đó $CK \bot \left( {ABC'} \right) \Rightarrow d\left( {C,\left( {ABC'} \right)} \right) = CK$

Suy ra $CK = \frac{{CC'.CH}}{{\sqrt {CC{'^2} + C{H^2}} }} = \frac{{\frac{{3a\sqrt 7 }}{7}.\frac{{a\sqrt {21} }}{7}}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{3a\sqrt 7 }}{7}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt {21} }}{7}} \right)}^2}} }} = \frac{{3a\sqrt 7 }}{{14}}$ nên c ĐÚNG

d) Trong mp $\left( {ABC} \right)$ dựng hình bình hành $ABCD$

$ \Rightarrow BC//AD \Rightarrow BC//\left( {ADC'} \right) \Rightarrow d\left( {BC,AC'} \right) = d\left( {BC,\left( {ADC'} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {ADC'} \right)} \right)$

Kẻ $CM \bot AD$ tại$M$. Vì $BC//AD \Rightarrow \widehat {CAM} = 180^\circ - \widehat {ACB} = 60^\circ $

$CM = AC.\sin 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Kẻ $CI \bot C'M$tại $I \Rightarrow CI \bot \left( {ADC'} \right) \Rightarrow d\left( {C,\left( {ADC'} \right)} \right) = CI$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta CMC'$ vuông ta có

$\frac{1}{{C{I^2}}} = \frac{1}{{CC{'^2}}} + \frac{1}{{C{M^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{3a\sqrt 7 }}{7}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{3a\sqrt 7 }}{7}} \right)}^2}}} = \frac{{19}}{{9{a^2}}} \Rightarrow CI = \frac{{3a\sqrt {19} }}{{19}}$ nên d ĐÚNG.